Mengen "gleicher Sorte", das heißt Teilmengen ein und derselben "Universalmenge" E, werden per Mengenoperationen miteinander verknüpft. Man beachte die Analogien zur Aussagenlogik.

Definition 1: Es seien A, B  P(E). Dann heißt:

1.   A  B = {x: x  A  x  B}	Vereinigungsmenge von A und B
2.   A  B = {x: x  A  x  B}	Durchschnittsmenge von A und B
3.   A \ B = {x: x  A  x  B}	Differenzmenge A - B
4.   CE(A) = {x: x  E  x  A}	Komplement von A (~A, falls E aus dem Zusammenhang bekannt)
5.   A  B = {x: entweder x  A oder x  B}	symmetrische Differenz

Bemerkungen:

1.  A, B heißen disjunkt (elementfremd), wenn A  B =  gilt

2.  A \ B = A B

3.  A  B = (A  B) \ (A  B) = (A \ B)  (B \ A)

Verallgemeinerungen:

Allgemeine Vereinigung und allgemeiner Durchschnitt:

  - Menge von Mengen (Mengensystem)
  = {x:  x  M} ;   = {x: x  M}

Beispiel: A beliebig,  P(A) = ,  P(A) = A

Zusammenfassung:

Betrachtet man eine Menge M zusammen mit einer Menge  von Operationen auf M, das heißt eine Gesamtheit [M,], so spricht man von einer Algebra bzw. algebraischen Struktur.
Hier: Mengenalgebren, wobei A | B = ~(A  B).

  = [P(E), , , , \, ]  [P(E), , ,]  [P(E), | ]

Definition 2: (Zusammenhänge zwischen Mächtigkeiten und den Mengenoperationen)

Es seien A, B, C endliche Mengen.
# M = n   genau dann, wenn eine Bijektion von M auf { 0, 1, 2, ... , n-1} existiert.

Dann gilt:

1. #(A  B) = #A + #B - #(A  B)
2. #(A  B  C) = #A + #B + #C - #(A B) - #(A  C) - #(B  C) + #(A  B  C)
3. #(A) = #E - #A
4. #(A \ B) = #(A  B) - #B = #A - #(A  B)
5. #(A  B) = #A + #B - 2#(A  B)

Satz 1:

Für alle Mengen A, B, C  P(E) gelten die folgenden Rechenregeln der Mengenalgebra bzw. weiteren Beziehungen:

 1.  A  B = B  A  A  B = B  A
       (Kommutativität von  und)
 2.  A  (B  C) = (A  B)  C  A  (B  C) = (A B)  C
       (Assoziativität von  und )
 3.  A  A = A  A  A = A
       (Idempotenz von  und )
 4.  A  (A  B) = A  (A  B) = A
       (Absorption/ Verschmelzung)
 5.  A  (B  C) = (A  B)  (A  C)  A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
       (linksseitige Distributivität von  gegenüber  und von  gegenüber ;
        wegen 1. folgt hieraus sofort die beidseitige Distributivität)
 6.  A   = A  E = A  A   =  A  E = E
 7.  A  A = E  A  A =   A = A E =  = E
 8. (A  B) = A B (A  B) = A B
      (de Morgan'sche Gesetze)
 9.  A  A  B  A  B  A
10. A  B B A
11. A  B  A  B = B  A  B = A
12. A  B  A  C  B  C  A  C  B  C
      (Monotonie)

Für alle Mengen A, B, C  P(E) gelten die folgenden Gesetze bezüglich der Mengendifferenz:

 1.  (A  B) \ C = (A \ C)  (B \ C)
       (rechtsseitige Distributivität von \ gegenüber )
 2.  (A  B) \ C = (A \ C)  (B \ C)
       (rechtsseitige Distributivität von \ gegenüber )
 3.  A \ (B  C) = (A \ B)  (A \ C)
 4.  A \ (B  C) = (A \ B)  (A \ C)
 5.  A \ (B \ C) = (A \ B)  (A  C)
 6.  A \  = A  A \ A = 
 7.  A \ (A \ B) = A  B

Für alle Mengen A, B, C  P(E) gelten die folgenden Gesetze bezüglich der symmetrischen Differenz:

 1.  A  A =  A  = A
 2.  A  B = B A
      (Kommutativität von )
 3.  A  (B C) = (A  B)  C
      (Assoziativität von )
 4.  (A  B)  C = (A  C)  (B  C)
      (Distributivität von  bezüglich )
 5.  A  B =  A  B = A  B
 6. A B = A  B

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