Die Cantorsche Mengendefinition

• Mengenlehre und mathematische Logik sind Fundamente der Mathematik
• extremer Standpunkt: Mathematik ist Mengenlehre, denn alle wesentlichen Objekte der Mathematik sind Mengen (Punkte, Zahlen, Gleichungen, Ungleichungen, Lösungen, Tupel, Relationen, Funktionen, Nullstellen, Dreiecke, ....)
• aber dennoch: Mengenlehre ist erst seit etwa 100 Jahren eigenständiges Teilgebiet der Mathematik
• Begründer: Georg Cantor (1845 - 1918) "In der Mathematik ist die Kunst des Fragestellens wichtiger als die des Lösens."
• 1895 erschien Teil1 der "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre", darin die berühmte Mengendefinition: "Eine Menge ist die Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen." Dies ist eher eine Anleitung zur Bildung von Mengen (Mengenbildungsaxiom), als eine Definition im strengen mathematischen Sinne.

1. ...unserer Anschauung (reale Objekte)
• Menge aller TFH-Studentinnen der Medieninformatik, die jünger als 24 Jahre sind
• Menge aller verkehrstüchtigen roten Fahrräder in Köpenick und Heiligensee
2. ...unseres Denkens (ideelle Objekte)
• Menge aller natürlichen Zahlen n mit 7 < n < 15
• Menge aller einstelligen Primzahlen
• Menge aller Lösungen der Gleichung x³ - x = 0
• Menge aller Punkte der Ebene, welche vom Ursprung den Abstand 5 haben
• Menge aller Permutationen von 27 Elementen
• Menge aller gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen 3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Mengen: große lateinische Buchstaben M, N, A, B, ...
Elemente: m  M ,  m  M

Beschreibungsarten von Mengen:

• Beschreibung durch charakterisierende Eigenschaften:                  M = { m: E(m) trifft zu }      (E - Eigenschaft)
• Beschreibung durch Aufzählung ihrer Elemente (falls möglich):       M = { 2, 4, 6 }

M = { n: n natürliche Zahl  7 < n < 15 }      M = { 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 }
M = { n: n Primzahl  n < 10 }                    M = { 2, 3, 5, 7 }
M = { x: x relle Zahl  x³= x }                     M = { -1, 0, 1 }
M = { x: x relle Zahl  -  < x  e }             aufzählende Beschreibung nicht möglich
M = { x: x rationale Zahl  x ² - 2 = 0 }        M = { } = 

Konsequenzen:

1. Gemäß Cantorscher Definition wird eine Menge durch ihren Inhalt/Umfang und nicht durch die Art der Beschreibung charakterisiert (Extensionalitätsprinzip). Insbesondere bei aufzählender Darstellung sind Reihenfolge der Elemente sowie Mehrfachnennungen ohne Bedeutung für den Inhalt.
2. Als "besondere" Menge muß  (leere Menge) als Cantorsche Menge zugelassen werden, welche z.B. in der Form

= { x: x  x } charakterisiert werden kann.

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